Warum ist ein Aktienkorb mehr als die Summe seiner Teile? Du lernst, wie Kovarianz und Korrelation das Portfoliorisiko drücken, wie du das Minimum-Varianz-Portfolio findest und wie aus Effizienzlinie, Tangentialportfolio und Kapitalmarktlinie das optimale Depot nach Markowitz entsteht – inklusive Leerverkäufen und Sharpe Ratio.
Deine Klausurvorbereitung an der Goethe-Uni – seit 1999, passgenau zu deiner Vorlesung.
Stell dir zwei Buden auf dem Campus-Sommerfest vor: Die eine verkauft Eis, die andere Regenponchos. Setzt du dein ganzes Standgeld auf die Eisbude, entscheidet allein das Wetter über deinen Gewinn. Teilst du es auf beide Buden auf, gilt: Scheint die Sonne, brummt das Eisgeschäft – schüttet es, rettet der Ponchostand den Tag. Dein Gesamtergebnis schwankt viel weniger, obwohl jede einzelne Bude ein Wackelkandidat bleibt.
Genau das ist die Kernidee der Portfoliotheorie nach Markowitz: Aktien nicht einzeln beurteilen, sondern als Team. Wie stark der Beruhigungseffekt ist, hängt davon ab, wie die Renditen zusammen schwanken – und dafür brauchst du genau zwei neue Werkzeuge: Kovarianz und Korrelation.
Kurz erklärt – „Neugier-Fragen": kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken – nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert's – an einer Frage einmal vorgemacht (Frage → Denk-Schritt → Antwort, die du gleich prüfst):
Bei der erwarteten Rendite ist die Portfolio-Welt noch bequem: Sie ist einfach der mit den Anlagegewichten gewichtete Durchschnitt der Einzelrenditen.
μP = xA · μA + xB · μB
Beim Risiko funktioniert genau das nicht – und das ist die wichtigste Botschaft dieses Kapitels. In der Portfoliovarianz zweier Aktien taucht neben den Einzelvarianzen ein dritter Summand auf, in dem die KovarianzσAB misst, ob die Renditen von A und B tendenziell gemeinsam nach oben/unten ausschlagen (σAB > 0) oder gegenläufig (σAB < 0). Einheit: Prozent zum Quadrat – deshalb schwer zu interpretieren. σAB der beiden Renditen steckt:
σP2 = xA2 · σA2 + xB2 · σB2 + 2 · xA · xB · σAB
Mit xB = 1 − xA, wenn das ganze Budget auf A und B verteilt wird. Aus Renditereihen schätzt du die Kovarianz nach dem Schema dxy = x·y − x · y („Durchschnitt der Produkte minus Produkt der Durchschnitte").
Weil die Kovarianz als „Prozent zum Quadrat" unhandlich ist, normiert man sie zum KorrelationskoeffizientenρAB = σAB / (σA · σB). Dimensionslose Richtungs- und Stärkekennzahl des Gleichlaufs, immer zwischen −1 und +1. ρAB:
σAB = ρAB · σA · σB mit −1 ≤ ρAB ≤ +1
Du investierst 60 % in die Software-Aktie S (μS = 9 %, σS = 22 %) und 40 % in die Logistik-Aktie L (μL = 14 %, σL = 30 %). Die Korrelation beträgt ρSL = 0,2.
Schritt 1 – Kovarianz: σSL = 0,2 · 0,22 · 0,30 = 0,0132
Schritt 2 – Portfoliorendite: μP = 0,6 · 9 % + 0,4 · 14 % = 5,4 % + 5,6 % = 11 %
Schritt 3 – Portfoliovarianz: σP2 = 0,62 · 0,222 + 0,42 · 0,302 + 2 · 0,6 · 0,4 · 0,0132 = 0,017424 + 0,0144 + 0,006336 = 0,03816
Schritt 4 – Portfoliorisiko: σP = √0,03816 ≈ 19,53 %
Einordnung: Der „naive" gewichtete Schnitt der Einzelrisiken wäre 0,6 · 22 % + 0,4 · 30 % = 25,2 %. Dein Portfolio schwankt mit 19,53 % deutlich weniger – und sogar weniger als die risikoärmere Aktie S allein (22 %), obwohl 40 % in der schwankungsstärkeren Aktie L stecken. Diese Lücke von gut 5½ Prozentpunkten ist der Diversifikationsgewinn aus ρ = 0,2.
Lässt du das Gewicht xS von 0 bis 1 laufen, wandert das Portfolio im μ-σ-Diagramm auf einer Linie von L nach S. Ihre Form hängt allein an ρ – und genau hier entsteht die DiversifikationRisikostreuung über mehrere Anlagen: Das unsystematische Risiko der Einzeltitel gleicht sich teilweise aus, das Portfoliorisiko sinkt unter den gewichteten Schnitt der Einzelrisiken – ohne Renditeverzicht.swirkung:
Perfekter Gleichlauf – die Portfolios liegen auf der Verbindungsgeraden zwischen S und L.
Kein Diversifikationseffekt.
Je kleiner ρ, desto weiter beult sich die Kurve Richtung „weniger Risiko" aus – bei gleichen Renditen.
Gratis-Risikosenkung, je niedriger ρ, desto mehr.
Perfekte Gegenläufigkeit – eine Mischung existiert, deren Ausschläge sich vollständig aufheben.
Bestenfalls: Risiko komplett eliminierbar.
Der am weitesten links liegende Punkt der Kurve ist das Minimum-Varianz-PortfolioDas Portfolio mit dem kleinstmöglichen Risiko aller S/L-Mischungen – der „Wendepunkt" der Kurve. Mischungen darunter (mehr Rendite-Verzicht bei mehr Risiko) sind ineffizient. (MVP). Für zwei Aktien findest du es mit der Gewichtsformel (hergeleitet aus ∂σP2/∂x = 0):
xSMVP = (σL2 − σSL) / (σS2 + σL2 − 2 · σSL)
Im Lehrbeispiel: xSMVP = (0,09 − 0,0132) / (0,0484 + 0,09 − 0,0264) = 0,0768 / 0,112 ≈ 68,6 % in S – das MVP bringt μ ≈ 10,57 % bei σ ≈ 19,32 %. Die Grafik zeigt die komplette Kurve:
Alle Kurvenpunkte stammen aus dem geprüften Rechenskript des Kapitels; die rote Kapitalmarktlinie gehört zu Abschnitt ④ – sie liegt oberhalb der 2-Aktien-Kurve, weil ihr Tangentialportfolio aus allen Aktien des Marktes gebaut ist.
Ab drei Aktien wird die Varianzformel länger – das Prinzip bleibt: jede Aktie steuert ihren Varianzterm bei, jedes Aktienpaar seinen doppelten Kovarianzterm:
σP2 = xA2σA2 + xB2σB2 + xC2σC2 + 2xAxBσAB + 2xAxCσAC + 2xBxCσBC
Damit du nichts vergisst, ordnet man alles im Rechenschema der Vorlesung – der Varianz-Kovarianz-Matrix. Auf der Diagonalen stehen die Varianzen, außerhalb symmetrisch die Kovarianzen; jedes Feld wird mit den Gewichten seiner Zeile und Spalte multipliziert, die Summe aller Felder ist σP2:
| xA | xB | xC | |
|---|---|---|---|
| xA | σA2 | σAB | σAC |
| xB | σAB | σB2 | σBC |
| xC | σAC | σBC | σC2 |
Bei N Aktien enthält das Schema N Varianzen und N·(N−1)/2 verschiedene Kovarianzen (bei 3 Aktien also 3: σAB, σAC, σBC – jede kommt in der Matrix zweimal vor). Je größer N, desto stärker dominieren die Kovarianzen das Portfoliorisiko – noch ein Grund, warum die Korrelationen wichtiger sind als die Einzelrisiken.
Wofür das Ganze? Zum Beispiel für das Minimum-Varianz-Portfolio bei mehreren Aktien: Man leitet σP2 nach den Gewichten ab (∂σP2/∂xi = 0) und löst das Gleichungssystem – in der Klausur meist nur für den 2-Aktien-Fall, das Matrix-Schema hilft beim sauberen Aufstellen.
Mit vielen Aktien wird aus der Kurve ein ganzes Bündel erreichbarer μ-σ-Kombinationen. Sein oberer linker Rand ist die EffizienzlinieAuch „effizienter Rand": alle Portfolios, die bei gegebenem Risiko die maximale erwartete Rendite bieten (bzw. bei gegebener Rendite das minimale Risiko). Beginnt im Minimum-Varianz-Portfolio; der Ast darunter ist ineffizient.: Nur dort holst du für jedes Risikoniveau die maximale erwartete Rendite heraus.
Jetzt kommt die risikolose Anlage ins Spiel (Zins rf, σ = 0). Du mischst einen Anteil a eines riskanten Portfolios mit 1 − a risikoloser Anlage. Für dieses Misch-Portfolio gilt (Herleitung wie auf der Folie – alle Terme mit σ der risikolosen Anlage fallen weg):
μa = a · μP + (1 − a) · rf σa2 = a2 · σP2 ⇒ σa = a · σP
Alle Mischungen liegen also auf einer Geraden durch rf und das riskante Portfolio. Die beste dieser Geraden ist die steilste, die den effizienten Rand gerade noch berührt – ihr Berührpunkt ist das TangentialportfolioTPF: das riskante Portfolio, in dem die Gerade durch rf den effizienten Rand tangiert. Es hat die höchste Sharpe Ratio aller riskanten Portfolios – „mehr Gerade" geht nicht. (TPF), die Gerade selbst die Kapitalmarktlinie (KML). Setzt du a = σa/σP in die Renditegleichung ein, erhältst du ihre Geradengleichung:
μa = rf + [(μP − rf) / σP] · σa
Die Steigung – Überrendite pro Einheit Risiko – heißt Sharpe RatioSR = (μP − rf) / σP: erwartete Überrendite über den risikolosen Zins je Einheit Gesamtrisiko. Das Tangentialportfolio maximiert diese Kennzahl; die Sharpe Ratio des TPF ist die Steigung der KML.. Links vom TPF (a < 1) bist du Sparer: ein Teil des Geldes liegt risikolos als Anlage. Rechts vom TPF (a > 1) nimmst du Kredit zu rf auf und hebelst das TPF.
rf = 3 %, Tangentialportfolio mit μTPF = 12 % und σTPF = 20 %. Die Sharpe Ratio ist (12 % − 3 %) / 20 % = 0,45.
Wählst du a = 1,4 (140 % des Vermögens im TPF, 40 % Kredit): μa = 1,4 · 12 % − 0,4 · 3 % = 15,6 % bei σa = 1,4 · 20 % = 28 %. Kontrolle über die Geradengleichung: 3 % + 0,45 · 28 % = 15,6 % ✓ – der Punkt liegt exakt auf der KML.
Und wer wählt welches a? Hier greift die Tobin-Separation der Vorlesung: Alle Investoren halten dasselbe TPF (dieselben Gewichte!) – unabhängig von ihrer Risikoaversion. Die Risikoaversion entscheidet nur über a, also über die Mischung aus TPF und risikoloser Anlage bzw. Kredit. Die Aktienauswahl und die Risikoeinstellung sind damit sauber getrennte Entscheidungen.
Für die meisten Rechenaufgaben ja – der 2-Aktien-Fall (Rendite, Varianz mit Kovarianzterm, MVP-Gewicht) ist in der Regel das Herzstück. Das 3-Aktien-Schema über die Varianz-Kovarianz-Matrix solltest du aber aufstellen können: Es wird gern als Verständnis- oder Teilaufgabe geprüft, meist ohne dass du es komplett durchrechnen musst.
Meist über eines von zwei Rechenwegen: Entweder ist ρAB gegeben, dann gilt σAB = ρAB · σA · σB. Oder du schätzt direkt aus den Reihen nach dem Verschiebungsschema dxy = Durchschnitt der Produkte minus Produkt der Durchschnitte (so stand es auch auf der Vorlesungsfolie). Beide Wege führen zum selben Wert.
Die Effizienzlinie ist der gekrümmte obere Rand aller rein riskanten Portfolios – sie existiert ganz ohne risikolose Anlage. Die Kapitalmarktlinie ist eine Gerade: Sie entsteht erst, wenn du eine risikolose Anlage (oder Kredit) zu rf mit dem Tangentialportfolio mischen kannst, und liegt ab dann in der Regel über der Effizienzlinie – nur im TPF berühren sich beide.
Noch nicht ganz. Die KML bewertet nur effiziente Mischungen aus TPF und risikoloser Anlage – ihr Risikomaß ist das Gesamtrisiko σ. Das CAPM in Kapitel 3 geht einen Schritt weiter und fragt, welche Rendite eine einzelne Aktie verdient; dort tritt an die Stelle von σ das Marktrisiko β und an die Stelle der KML die Wertpapiermarktlinie.
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