Die große Rechenaufgabe der BMGT-Klausur: Reaktionsfunktionen aufstellen, Cournot-Nash-Mengen bestimmen, den Stackelberg-Vorteil des Erstziehers ausrechnen – und verstehen, warum eine Fusion den Preis hebt und trotzdem ein Verlustgeschäft sein kann. Komplett durchgerechnet an einem Beispiel, mit adaptivem Selbsttest.
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Stell dir zwei Food-Trucks vor deiner Uni vor. Jeden Morgen entscheiden beide, wie viele Bowls sie vorbereiten – und erst mittags zeigt sich der Preis: Haben beide viel dabei, müssen beide Rabatte geben; hat einer wenig dabei, bleibt der Preis stabil. Bevor Truck 1 seine Menge festlegt, fragt er sich also automatisch: „Wie viel kocht wohl der andere?“ – und plant dagegen. Genau dieses Gegeneinander-Planen gießt dieses Kapitel in eine Formel: die Reaktionsfunktion.
Und wenn Truck 1 schon am Vorabend öffentlich postet, dass er morgen mit doppelter Menge anrückt? Dann bleibt Truck 2 nur, klein beizugeben und weniger vorzubereiten – der Erstzieher hat sich einen Vorteil erzwungen. Aus dem Mensa-Vorplatz wird gleich ein Markt mit zwei E-Scooter-Verleihern – die Logik bleibt exakt dieselbe.
Kurz erklärt – „Neugier-Fragen": kleine Fragen, die du dir selbst stellst, um aktiv mitzudenken – nicht zum Googeln, sondern zum inneren Beantworten, während die Lektion läuft. So funktioniert's – an einer Frage einmal vorgemacht (Frage → Denk-Schritt → Antwort, die du gleich prüfst):
Im Monopol brauchst du nur Nachfrage und Kosten – im OligopolMarktform mit wenigen Anbietern, deren Entscheidungen sich gegenseitig spürbar beeinflussen. Spezialfall mit genau zwei Anbietern: Duopol. kommt ein dritter Faktor dazu: die Entscheidung deiner Konkurrenz. Der Marktpreis hängt an der Gesamtmenge aller Anbieter – wer seine Menge plant, plant deshalb immer gegen die (erwartete) Menge des anderen. Beim Cournot-Wettbewerb sind die Spielregeln: homogenes Gut, beide wählen ihre Mengen gleichzeitig und unabhängig, der Preis bildet sich über die Gesamtmenge.
Zwei Verleiher legen im Frühjahr fest, wie viele hundert Scooter sie in einer Unistadt aufstellen (q1, q2). Der Tagespass-Preis bildet sich über die Gesamtflotte Q:
p = 160 − 2Q mit Q = q1 + q2
Beide betreiben ihre Flotte mit konstanten GrenzkostenKosten der letzten zusätzlichen Einheit – hier: was eine weitere Flotteneinheit pro Saison kostet. Im Lehrbeispiel konstant: c = 40, keine Fixkosten. von c = 40, Fixkosten fallen keine an.
Schritt 1 – Gewinnfunktion von Anbieter 1 (Preis einsetzen, Kosten abziehen):
π1 = (160 − 2q1 − 2q2) · q1 − 40 · q1
Schritt 2 – ableiten und nullsetzen (q2 ist aus Sicht von Anbieter 1 beim Ableiten eine Konstante!):
∂π1/∂q1 = 120 − 4q1 − 2q2 = 0 ⇒ q1 = 30 − ½q2
Diese beste Antwort auf jede denkbare Konkurrenzmenge ist die ReaktionsfunktionGibt für jede mögliche Menge des Konkurrenten die eigene gewinnmaximale Menge an. Sie folgt aus der Bedingung erster Ordnung der Gewinnmaximierung. (RF) von Anbieter 1. Lesebeispiel: Stellt der Konkurrent q2 = 10 auf, ist q1 = 30 − 5 = 25 optimal.
Anbieter 2 rechnet spiegelbildlich und erhält q2 = 30 − ½q1. Beide RF fallen: Je mehr der eine anbietet, desto weniger lohnt sich für den anderen – Mengen sind strategische SubstituteDie beste Antwort auf „mehr“ des Konkurrenten ist „weniger“ von dir – die Reaktionsfunktion fällt. Gegenstück: strategische Komplemente (Preise im Bertrand-Wettbewerb).. Stabil ist genau der Punkt, in dem beide gleichzeitig auf ihrer RF liegen – dort will niemand mehr abweichen. Das ist das Cournot-Nash-GleichgewichtMengenpaar, bei dem jede Firma die beste Antwort auf die Menge der anderen spielt (Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen) – ein Nash-Gleichgewicht in Mengen.:
q1 = 30 − ½ · (30 − ½q1) ⇒ q1* = q2* = 20
Gesamtmenge Q = 40, Preis p = 160 − 80 = 80, Gewinn je Anbieter π = (80 − 40) · 20 = 800. Zum Vergleich: Ein Monopolist (oder ein perfektes Kartell) würde nur Q = 30 aufstellen, den Preis auf 100 treiben und insgesamt 1.800 verdienen. Das Duopol liefert also mehr Menge zum niedrigeren Preis als das Monopol – aber noch lange keinen Wettbewerbspreis.
Beide Reaktionsfunktionen im Mengendiagramm. Im Schnittpunkt C liegt das Cournot-Nash-Gleichgewicht (20, 20). Der goldene Punkt S (30, 15) ist das Stackelberg-Ergebnis aus Abschnitt ③: Er liegt auf der RF des Folgers, aber nicht mehr auf der RF des Führers.
Jetzt wird dasselbe Spiel sequentiell: Anbieter 1 legt seine Flotte zuerst verbindlich fest (Stackelberg-Führer), Anbieter 2 beobachtet das und reagiert (Folger). Gelöst wird von hinten – per RückwärtsinduktionSequentielle Spiele „von hinten nach vorne“ lösen: erst die optimale Reaktion des Letztziehenden bestimmen, dann die Entscheidung des Erstziehenden unter Einbeziehung dieser Reaktion. Ergebnis: das teilspielperfekte Gleichgewicht.: Der Führer kennt die RF des Folgers und setzt sie in seine eigene Gewinnfunktion ein:
π1 = (160 − 2q1 − 2 · (30 − ½q1) − 40) · q1 = (60 − q1) · q1
∂π1/∂q1 = 60 − 2q1 = 0 ⇒ q1* = 30, q2* = 30 − 15 = 15
Gesamtmenge Q = 45 > 40, Preis p = 70 < 80. Gewinne: Führer π1 = (70 − 40) · 30 = 900, Folger π2 = (70 − 40) · 15 = 450. Der First-Mover-Vorteil ist dabei kein Informationsvorteil – der Folger weiß ja sogar mehr! Es ist ein Verpflichtungsvorteil: Wer sich glaubwürdig zuerst auf „viel“ festlegt, zwingt den anderen entlang dessen fallender RF zum Zurückweichen.
Was, wenn beide statt der Mengen die Preise setzen (Bertrand-Wettbewerb)? Beim homogenen Gut wandert die gesamte Nachfrage zum billigeren Anbieter. Jeder Preis über den Grenzkosten lädt deshalb zum minimalen Unterbieten ein – bis bei p = GK = 40 Schluss ist: Nullgewinne für beide, das Bertrand-ParadoxonSchon zwei Anbieter genügen beim homogenen Gut im Preiswettbewerb, um das Ergebnis vollständigen Wettbewerbs zu erzeugen: p = Grenzkosten, Gewinne null.. In der Realität wird das abgemildert: durch Produktdifferenzierung (dann sind Preise über GK haltbar), durch Kapazitätsgrenzen – oder durch Wiederholung: Treffen sich die Anbieter jede Periode erneut, kann eine stillschweigende KollusionStillschweigende oder explizite Preis-/Mengenabsprache. Im unendlich wiederholten Spiel stabil, wenn der Diskontfaktor δ = 1/(1 + i) über dem kritischen Wert liegt – das Kalkül dazu steht in Kapitel 1 (wiederholte Spiele). stabil werden, wenn zukünftige Gewinne wichtig genug sind.
Für n identische Cournot-Anbieter (Nachfrage p = a − bQ, Grenzkosten c) gilt im Gleichgewicht:
qi = (a − c) / (b · (n + 1)) p = (a + n · c) / (n + 1)
Das Duopol ist der Spezialfall n = 2, das Monopol n = 1. Mit jedem zusätzlichen Anbieter rückt der Preis näher an die Grenzkosten. Im Lehrbeispiel mit n = 3 Verleihern: qi = 120/8 = 15, Q = 45, p = 70, Gewinn je Firma (70 − 40) · 15 = 450.
Schließen sich zwei der drei Anbieter zusammen – ohne Kosten- oder Kapazitätsvorteile –, stehen sich danach nur noch zwei Cournot-Spieler gegenüber. Das Ergebnis kennst du schon aus Abschnitt ②: je 20, Q = 40, der Preis steigt von 70 auf 80. Und jetzt genau hinsehen:
Die fusionierte Firma verdient weniger als ihre beiden Teile zusammen vorher (800 < 900) – das Fusionsparadoxon: Nach dem Zusammenschluss ist sie nur noch einer von zwei Spielern und drosselt ihre Menge, während der Außenseiter mitexpandiert und als lachender Dritter den höheren Preis kassiert. Erst Synergien (echte Kostenvorteile) oder ein Strukturwechsel – etwa wenn die fusionierte Einheit zum Stackelberg-Führer wird, eine beliebte Klausur-Wendung – drehen das Vorzeichen. Wettbewerbsbehörden schauen trotzdem genau hin: Für die Konsumenten steigt der Preis in jedem Fall.
| Marktlösung (Lehrbeispiel) | q1 | q2 | Q | p | π1 | π2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Kartell / Monopol | 15 | 15 | 30 | 100 | 900 | 900 |
| Cournot (simultan, Mengen) | 20 | 20 | 40 | 80 | 800 | 800 |
| Stackelberg (sequentiell) | 30 | 15 | 45 | 70 | 900 | 450 |
| Bertrand (simultan, Preise) | 30 | 30 | 60 | 40 | 0 | 0 |
Alle Werte für das Lehrbeispiel p = 160 − 2Q, c = 40 (code-verifiziert im Compute-Skript). Merksatz Preise: Kartell > Cournot > Stackelberg > Bertrand (= GK) – die Mengenreihenfolge ist exakt spiegelbildlich.
Sicherer ist beides: In den uns vorliegenden älteren Klausuren tauchten sowohl klassische Duopole als auch vier Anbieter samt Fusion auf. Die gute Nachricht: Die n-Firmen-Formel qi = (a − c)/(b · (n + 1)) enthält das Duopol als Spezialfall n = 2 und das Monopol als n = 1 – im Kern merkst du dir also eine Formel plus die RF-Routine.
Meist an Signalwörtern: „Mengenwettbewerb“ bzw. Reaktionsfunktionen über Mengen → Cournot. „Setzen ihre Preise“ bei homogenem Gut → Bertrand (p = GK, oft ganz ohne Rechnung). „Zuerst … danach“ bzw. Führer/Folger → Stackelberg mit Rückwärtsinduktion. In der Regel steht der Wettbewerbstyp fast wörtlich in der Aufgabe.
Erfahrungsgemäß das Ableiten der Gewinnfunktion: Entweder wird die Konkurrenzmenge qj mit abgeleitet (sie ist beim Ableiten eine Konstante!) oder der Faktor 2 vor der eigenen Menge vergessen. Zweiter Klassiker beim Stackelberg: die falsche RF einsetzen – eingesetzt wird immer die RF des Folgers in den Gewinn des Führers, nie umgekehrt.
Ohne Synergien meist nicht – das ist gerade das Fusionsparadoxon: Der Zusammenschluss drosselt die eigene Menge, und ausgerechnet der Außenseiter profitiert. Mit echten Kostenvorteilen oder wenn die Fusion die Marktstruktur verändert – etwa die neue Einheit zum Stackelberg-Führer macht – kann sich das Blatt aber wenden. Genau solche Varianten sind beliebte Klausur-Wendungen.
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