Unsicherheit & Erwartungsnutzen

Einstieg

Wir gehen den Fahrplan Schritt für Schritt an einem einzigen durchgerechneten Beispiel entlang, so siehst du, wie die Bausteine ineinandergreifen.

① Erwartungswert und Erwartungsnutzen

Bei einer Entscheidung unter Risiko kennst du die möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten, aber nicht das tatsächliche Ergebnis. Zwei Kennzahlen fassen so eine Lotterie zusammen. Der ErwartungswertE(X) = Σ pᵢ·xᵢ: die mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Summe der Auszahlungen, der im Schnitt erwartete Euro-Betrag. E(X) mittelt die Auszahlungen, der ErwartungsnutzenE(U) = Σ pᵢ·u(xᵢ): erst jede Auszahlung in Nutzen u(xᵢ) übersetzen, dann mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten. E(U) mittelt dagegen den Nutzen der Auszahlungen:

E(X) = Σ pᵢ · xᵢ    E(U) = Σ pᵢ · u(xᵢ)

Der Unterschied ist der entscheidende Denkschritt des ganzen Kapitels: Menschen entscheiden nach dem erwarteten Nutzen, nicht nach dem erwarteten Geldbetrag. Die Nutzenfunktionu(x) ordnet jedem Vermögen x einen Nutzenwert zu. Ihre Krümmung bestimmt die Risikoeinstellung. Typisches Beispiel: u(x) = √x. u(x) macht diesen Zusammenhang messbar, ihre Krümmung verrät die Risikoeinstellung.

② Risikoeinstellung: konkav, linear, konvex

Vergleiche den Nutzen des sicheren Erwartungswerts, U(E(X)), mit dem Erwartungsnutzen der Lotterie, E(U). Aus dem Vergleich folgt direkt die RisikoaversionRisikoscheu: die Person bevorzugt den sicheren Erwartungswert gegenüber der gleichwertigen Lotterie. Kennzeichen: konkave Nutzenfunktion, U(E(X)) > E(U). oder die jeweilige Gegenrichtung:

③ Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie

Wie viel ist die Lotterie einer Person in sicherem Geld wert? Das beantwortet das SicherheitsäquivalentSÄ: der sichere Betrag, dessen Nutzen genau dem Erwartungsnutzen entspricht: u(SÄ) = E(U), also SÄ = u⁻¹(E(U)). SÄ, der sichere Betrag mit demselben Nutzen wie die Lotterie. Man setzt den Nutzen des SÄ gleich E(U) und löst auf:

u(SÄ) = E(U)  ⟹  SÄ = u⁻¹(E(U))

Die Differenz zwischen dem erwarteten Geldbetrag und diesem sicheren Gegenwert ist die RisikoprämieRP = E(X) − SÄ. Bei Risikoaversion positiv: so viel erwarteten Wert gibt man auf, um das Risiko loszuwerden. RP, der Preis, den eine risikoaverse Person für Sicherheit zu zahlen bereit ist:

RP = E(X) − SÄ

Praktisch: Eine positive affine Transformationv(x) = a·u(x) + b mit a > 0 beschreibt dieselben Präferenzen. SÄ und RP bleiben unverändert, die Risikoeinstellung ist invariant. der Nutzenfunktion (v = a·u + b, a > 0) verändert weder SÄ noch RP, nützlich, wenn eine Aufgabe die Nutzenfunktion umskaliert.

④ Anwendung: Versicherung, faire Prämie und Gesamtprämie

Jetzt der Klausur-Klassiker. Die faire PrämiePrämie ohne Risikoaufschlag: sie entspricht genau dem erwarteten Schaden E(S). Ein risikoneutraler Versicherer verlangt genau diesen Betrag. entspricht dem erwarteten SchadenE(S) = Σ pᵢ·Schadenᵢ: der im Mittel zu erwartende Verlust. Gleich der fairen Prämie. E(S). Eine risikoaverse Person würde jedoch sogar mehr zahlen, bis maximal zur Gesamtprämie:

Gesamtprämie = faire Prämie E(S) + Risikoprämie RP

Die Grafik zeigt denselben Sachverhalt geometrisch: Die konkave Kurve liegt über ihrer Sehne, deshalb liegt das Sicherheitsäquivalent links vom Erwartungswert, der Abstand ist die Risikoprämie.