Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einstieg

Wir gehen den Fahrplan Schritt für Schritt entlang und lösen am Ende an einem einzigen durchgerechneten Beispiel das Test-Rätsel aus dem Einstieg – so siehst du, wie die Bausteine ineinandergreifen.

① Grundbegriffe und Laplace-Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsvorgang hat mehrere mögliche Ergebnisse; die Menge aller Ergebnisse ist der ErgebnisraumΩ (Omega): die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs. Beim Würfel Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es gilt stets P(Ω) = 1. Ω. Ein Ereignis A ist eine Teilmenge davon – z. B. beim Würfel A = „gerade Augenzahl“ = {2, 4, 6}. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, greift die Laplace-WahrscheinlichkeitP(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Setzt gleich wahrscheinliche Ergebnisse voraus (fairer Würfel, faire Münze).:

P(A) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse = |A| / |Ω|

Beispiel Würfel: P(gerade) = 3/6 = 1/2. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 (unmögliches Ereignis) und 1 (sicheres Ereignis, P(Ω) = 1). Beim mehrstufigen Vorgang gilt die Merkregel: „UND“ heißt multiplizieren, „ODER“ heißt addieren – dazu gleich mehr.

② Ereignisse verknüpfen

Aus zwei Ereignissen A und B bildet man neue. Das Venn-Diagramm macht sie anschaulich: der Schnitt A∩B („A und B“), die Vereinigung A∪B („A oder B oder beides“) und das KomplementĀ („nicht A“) = Gegenereignis. Es gilt P(Ā) = 1 − P(A), denn A und Ā füllen zusammen den ganzen Ergebnisraum. Ā. Für die Vereinigung gilt der AdditionssatzP(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Der Schnitt wird abgezogen, weil er sonst doppelt gezählt würde.:

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)    P(Ā) = 1 − P(A)

Zwei weitere nützliche Bausteine: die Differenz P(A\B) = P(A) − P(A∩B) („A ohne B“) und die Regeln von De Morgan„Weder A noch B“: P(Ā∩B̄) = 1 − P(A∪B). „Nicht beide gleichzeitig“: P(Ā∪B̄) = 1 − P(A∩B)., mit denen sich „weder noch“ sauber umformen lässt: P(Ā∩B̄) = 1 − P(A∪B).

③ Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Oft weiß man schon, dass ein Ereignis B eingetreten ist, und fragt nach A unter dieser Bedingung. Das ist die bedingte WahrscheinlichkeitP(A|B) = P(A∩B) / P(B): die Wahrscheinlichkeit von A, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist. Der Ergebnisraum „schrumpft“ auf B. P(A|B). Stellt man diese Formel um, erhält man den MultiplikationssatzP(A∩B) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A). Gilt immer – auch bei abhängigen Ereignissen.:

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)    P(A∩B) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A)

Wichtig: P(A|B) und P(B|A) sind im Allgemeinen verschieden – gleicher Zähler P(A∩B), aber verschiedene Nenner. Ein Sonderfall ist die stochastische UnabhängigkeitA und B sind unabhängig, wenn P(A|B) = P(A), gleichbedeutend mit P(A∩B) = P(A)·P(B). Achtung: „unabhängig" ist NICHT dasselbe wie „schließt sich aus".: Weiß man über A nichts Neues, wenn B eingetreten ist, dann gilt der einfache Produktsatz P(A∩B) = P(A) · P(B).

④ Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

Zerlegt man den Ergebnisraum in disjunkte Fälle A₁, A₂, …, liefert der Satz der totalen WahrscheinlichkeitP(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ): die Gesamtwahrscheinlichkeit von B als gewichtete Summe über alle Fälle Aᵢ. die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses B. Dreht man die Bedingung um – von P(B|A) zu P(A|B) –, hilft der Satz von BayesP(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B). Rechnet von der bekannten Richtung P(B|A) auf die gesuchte P(A|B) zurück.:

P(B) = Σ P(B|Aᵢ) · P(Aᵢ)    P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

Bei genau zwei Fällen (A und Ā) lässt sich alles bequem in einer Vierfeldertafel anordnen: die vier gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten P(A∩B), P(A∩B̄), P(Ā∩B), P(Ā∩B̄) im Inneren, die Rand­summen außen. Genau das nutzen wir jetzt.

Das Baumdiagramm zeigt denselben Sachverhalt: Die zwei Äste mit positivem Test (grün markiert) führen zu den Wahrscheinlichkeiten 0,018 (krank) und 0,049 (gesund). Ihre Summe ist P(T) = 0,067; der Anteil des krank-Astes daran ist der gesuchte Bayes-Wert.